在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。.E-Z~晓\说+旺* ?追*蕞·欣_蟑*結·这一章还引进和使

用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线

性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次

突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则

m＞n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到

3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些

内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出了这样一组公式：

这在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，

以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。?零~点^墈*书, _追!嶵^辛¨蟑_洁?其影响之深，以致以后我国数学著

作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著

书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。

然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给

出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了

这个缺陷。

刘徽是我国也是世界历史上最伟大的数学家之一。遗憾的是，他的生平我们现在知

之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》

的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和

数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。\b_a!i`m￠a-s/y+.+c·o`m￠如他提出“凡数相与者

谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，

要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相

反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化

了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出

其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术

求解。

一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或

立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。

基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最

常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面

积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。

《九章算术》提出圆面积公式S＝l/2·r（S为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为

证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二

边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方＜S，但

“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这相